e9Exercise 1.39

gyumni | Sept. 9, 2019, 9:13 a.m.

{\displaystyle {\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline {\begin{matrix}{\text{Radian}}\\{\text{Degree}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\0^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{12}}\\15^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{8}}\\22.5^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{6}}\\30^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\\45^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}\\60^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {5\pi }{12}}\\75^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\\90^{\circ }\end{matrix}}\\\hline \sin &0&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&1\\\cos &1&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&0\\\tan &0&2-{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}-1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1&{\sqrt {3}}&2+{\sqrt {3}}&\infty \\\cot &\infty &2+{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}+1&{\sqrt {3}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&2-{\sqrt {3}}&0\\\sec &1&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&\infty \\\csc &\infty &{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2&{\sqrt {2}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&1\\\hline \end{array}}}

 tan(Pi/12) = [0;3,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1, ...]http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html

[0;3,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
3  1 / 3  = 0.3333333333333333
1  1 / 4  = 0.25
2  3 / 11  = 0.2727272727272727
1  4 / 15  = 0.26666666666666666
2  11 / 41  = 0.2682926829268293
1  15 / 56  = 0.26785714285714285
2  41 / 153  = 0.2679738562091503
1  56 / 209  = 0.2679425837320574
2  153 / 571  = 0.2679509632224168
1  209 / 780  = 0.26794871794871794
2  571 / 2131  = 0.2679493195682778
1  780 / 2911  = 0.2679491583648231
2  2131 / 7953  = 0.2679492015591601
1  2911 / 10864  = 0.26794918998527245
2  7953 / 29681  = 0.2679491930864863
1  10864 / 40545  = 0.26794919225551855
2  29681 / 110771  = 0.26794919247817567
1  40545 / 151316  = 0.2679491924185149
2  110771 / 413403  = 0.26794919243450094
1  151316 / 564719  = 0.26794919243021753
2  413403 / 1542841  = 0.2679491924313653
1  564719 / 2107560  = 0.2679491924310577
2  1542841 / 5757961  = 0.2679491924311401
1  2107560 / 7865521  = 0.26794919243111803
2  5757961 / 21489003  = 0.267949192431124
1  7865521 / 29354524  = 0.26794919243112236
1  13623482 / 50843527  = 0.26794919243112303

 tan(Pi/8) = [0;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3, ...]

[0;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
2  1 / 2  = 0.5
2  2 / 5  = 0.4
2  5 / 12  = 0.4166666666666667
2  12 / 29  = 0.41379310344827586
2  29 / 70  = 0.4142857142857143
2  70 / 169  = 0.41420118343195267
2  169 / 408  = 0.41421568627450983
2  408 / 985  = 0.41421319796954315
2  985 / 2378  = 0.4142136248948696
2  2378 / 5741  = 0.41421355164605467
2  5741 / 13860  = 0.4142135642135642
2  13860 / 33461  = 0.41421356205732046
2  33461 / 80782  = 0.4142135624272734
2  80782 / 195025  = 0.4142135623637995
2  195025 / 470832  = 0.4142135623746899
2  470832 / 1136689  = 0.4142135623728214
2  1136689 / 2744210  = 0.414213562373142
2  2744210 / 6625109  = 0.414213562373087
2  6625109 / 15994428  = 0.4142135623730964
2  15994428 / 38613965  = 0.4142135623730948
3  54608393 / 131836323  = 0.41421356237309503

[0;1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,3, ...]

[0;1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,3]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
1  1 / 1  = 1
1  1 / 2  = 0.5
2  3 / 5  = 0.6
1  4 / 7  = 0.5714285714285714
2  11 / 19  = 0.5789473684210527
1  15 / 26  = 0.5769230769230769
2  41 / 71  = 0.5774647887323944
1  56 / 97  = 0.5773195876288659
2  153 / 265  = 0.5773584905660377
1  209 / 362  = 0.5773480662983426
2  571 / 989  = 0.5773508594539939
1  780 / 1351  = 0.5773501110288675
2  2131 / 3691  = 0.5773503115686806
1  2911 / 5042  = 0.5773502578341928
2  7953 / 13775  = 0.577350272232305
1  10864 / 18817  = 0.5773502683743423
2  29681 / 51409  = 0.5773502694080803
1  40545 / 70226  = 0.577350269131091
2  110771 / 191861  = 0.5773502692053101
1  151316 / 262087  = 0.5773502691854232
2  413403 / 716035  = 0.5773502691907518
1  564719 / 978122  = 0.5773502691893241
2  1542841 / 2672279  = 0.5773502691897067
1  2107560 / 3650401  = 0.5773502691896041
2  5757961 / 9973081  = 0.5773502691896316
1  7865521 / 13623482  = 0.5773502691896242
2  21489003 / 37220045  = 0.5773502691896262
3  72332530 / 125283617  = 0.577350269189626

1 = tan(Pi/4) = [1;]
tan(Pi/3) = 1.7320508075688767
1732050807568877/1000000000000000 = tan(Pi/3) = [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1, ...]
[1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,1]

CF Convergent
1  1 / 1  = 1
1  2 / 1  = 2
2  5 / 3  = 1.6666666666666667
1  7 / 4  = 1.75
2  19 / 11  = 1.7272727272727273
1  26 / 15  = 1.7333333333333334
2  71 / 41  = 1.7317073170731707
1  97 / 56  = 1.7321428571428572
2  265 / 153  = 1.7320261437908497
1  362 / 209  = 1.7320574162679425
2  989 / 571  = 1.7320490367775832
1  1351 / 780  = 1.7320512820512821
2  3691 / 2131  = 1.7320506804317222
1  5042 / 2911  = 1.732050841635177
2  13775 / 7953  = 1.73205079844084
1  18817 / 10864  = 1.7320508100147276
2  51409 / 29681  = 1.7320508069135137
1  70226 / 40545  = 1.7320508077444814
2  191861 / 110771  = 1.7320508075218244
1  262087 / 151316  = 1.732050807581485
2  716035 / 413403  = 1.732050807565499
1  978122 / 564719  = 1.7320508075697825
2  2672279 / 1542841  = 1.7320508075686347
1  3650401 / 2107560  = 1.7320508075689423
2  9973081 / 5757961  = 1.7320508075688599
1  13623482 / 7865521  = 1.7320508075688819
2  37220045 / 21489003  = 1.732050807568876
1  50843527 / 29354524  = 1.7320508075688776
1  88063572 / 50843527  = 1.732050807568877

52407779283041/1000000000000000 = tan(Pi/12/5) = [0;19,12,3,12,1,4,3,5,1,34,5, ...]
[0;19,12,3,12,1,4,3,5,1,34,5]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
19  1 / 19  = 0.05263157894736842
12  12 / 229  = 0.05240174672489083
3  37 / 706  = 0.05240793201133145
12  456 / 8701  = 0.05240776922192852
1  493 / 9407  = 0.05240778143935367
4  2428 / 46329  = 0.0524077791448121
3  7777 / 148394  = 0.0524077792902678
5  41313 / 788299  = 0.05240777928171925
1  49090 / 936693  = 0.05240777928307354
34  1710373 / 32635861  = 0.05240777928304082
5  8600955 / 164115998  = 0.05240777928304101

tan(Pi/11) = 0.29362649293836673
293626492938367/1000000000000000 = tan(Pi/11) = [0;3,2,2,6,1,1,1,2,1,1,1,24,1,27,1,7,1,2, ...]
[0;3,2,2,6,1,1,1,2,1,1,1,24,1,27,1,7,1,2]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
3  1 / 3  = 0.3333333333333333
2  2 / 7  = 0.2857142857142857
2  5 / 17  = 0.29411764705882354
6  32 / 109  = 0.29357798165137616
1  37 / 126  = 0.29365079365079366
1  69 / 235  = 0.2936170212765957
1  106 / 361  = 0.29362880886426596
2  281 / 957  = 0.2936259143155695
1  387 / 1318  = 0.2936267071320182
1  668 / 2275  = 0.2936263736263736
1  1055 / 3593  = 0.2936264959643752
24  25988 / 88507  = 0.293626492819777
1  27043 / 92100  = 0.29362649294245385
27  756149 / 2575207  = 0.29362649293823756
1  783192 / 2667307  = 0.29362649293838317
7  6238493 / 21246356  = 0.2936264929383655
1  7021685 / 23913663  = 0.2936264929383675
2  20281863 / 69073682  = 0.2936264929383669

tan(Pi/10) = 0.3249196962329063
162459848116453/500000000000000 = tan(Pi/10) = [0;3,12,1,6,1,6,25,4,1,1,15,1,2,1,1, ...]
[0;3,12,1,6,1,6,25,4,1,1,15,1,2,1,1]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
3  1 / 3  = 0.3333333333333333
12  12 / 37  = 0.32432432432432434
1  13 / 40  = 0.325
6  90 / 277  = 0.3249097472924188
1  103 / 317  = 0.3249211356466877
6  708 / 2179  = 0.32491968793024323
25  17803 / 54792  = 0.32491969630603007
4  71920 / 221347  = 0.3249196962235766
1  89723 / 276139  = 0.3249196962399371
1  161643 / 497486  = 0.3249196962326578
15  2514368 / 7738429  = 0.32491969623291755
1  2676011 / 8235915  = 0.32491969623290184
2  7866390 / 24210259  = 0.3249196962329069
1  10542401 / 32446174  = 0.3249196962329056
1  18408791 / 56656433  = 0.3249196962329062

tan(Pi/9) = 0.36397023426620234
181985117133101/500000000000000 = tan(Pi/9) = [0;2,1,2,1,24,38,6,1,9,17,6,1, ...]
[0;2,1,2,1,24,38,6,1,9,17,6,1]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
2  1 / 2  = 0.5
1  1 / 3  = 0.3333333333333333
2  3 / 8  = 0.375
1  4 / 11  = 0.36363636363636365
24  99 / 272  = 0.3639705882352941
38  3766 / 10347  = 0.36397023291775393
6  22695 / 62354  = 0.3639702344677166
1  26461 / 72701  = 0.36397023424712177
9  260844 / 716663  = 0.36397023426631486
17  4460809 / 12255972  = 0.363970234266201
6  27025698 / 74252495  = 0.3639702342662021
1  31486507 / 86508467  = 0.36397023426620195

tan(Pi/7) = 0.4815746188075286
481574618807529/1000000000000000 = tan(Pi/7) = [0;2,13,14,1,1,1,8,5,1,6,1,12,2,4,2, ...]
[0;2,13,14,1,1,1,8,5,1,6,1,12,2,4,2]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
2  1 / 2  = 0.5
13  13 / 27  = 0.48148148148148145
14  183 / 380  = 0.48157894736842105
1  196 / 407  = 0.48157248157248156
1  379 / 787  = 0.4815756035578145
1  575 / 1194  = 0.4815745393634841
8  4979 / 10339  = 0.4815746203694748
5  25470 / 52889  = 0.48157461854071737
1  30449 / 63228  = 0.48157461883975455
6  208164 / 432257  = 0.4815746188031657
1  238613 / 495485  = 0.48157461880783475
12  3071520 / 6378077  = 0.48157461880751834
2  6381653 / 13251639  = 0.48157461880753016
4  28598132 / 59384633  = 0.4815746188075289
2  63577917 / 132020905  = 0.481574618807529

tan(Pi/5) = 0.7265425280053608
726542528005361/1000000000000000 = tan(Pi/5) = [0;1,2,1,1,1,10,1,2,7,22,1,51,1,1,2,10, ...]
[0;1,2,1,1,1,10,1,2,7,22,1,51,1,1,2,10]

CF Convergent
0  0 / 1  = 0
1  1 / 1  = 1
2  2 / 3  = 0.6666666666666666
1  3 / 4  = 0.75
1  5 / 7  = 0.7142857142857143
1  8 / 11  = 0.7272727272727273
10  85 / 117  = 0.7264957264957265
1  93 / 128  = 0.7265625
2  271 / 373  = 0.7265415549597856
7  1990 / 2739  = 0.7265425337714494
22  44051 / 60631  = 0.726542527749831
1  46041 / 63370  = 0.7265425280100994
51  2392142 / 3292501  = 0.7265425280053066
1  2438183 / 3355871  = 0.7265425280053971
1  4830325 / 6648372  = 0.7265425280053522
2  12098833 / 16652615  = 0.7265425280053613
10  125818655 / 173174522  = 0.726542528005361